|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Volledige inductie voor elke natuurlijke getal groter dan 1
(1) Waw, dat had ik wellicht zelf nooit gevonden! Bedankt!
(2)
Mijn excuses.
Hoewel ik moet toegeven dat ik er nog steeds bij 'vastloop'  Bij de voirge oefeninge was er nog de mogelijkheid te vereenvoudigen. Hier echter niet...
Ik stel dus:
2x=tant
2dx=dt/cos2t
tan(x/2) en cosx=(1-t2)/(1+t2)
dx=2dt/(1+t2)
en zo wordt
(1/2)ò 1/cos^3(t) dt
= (1/2)ò(1+t2)^3/(1-t2)^3 * 2dt/(1+t2)
en na vereenvoudiging
= ò(1+t2)2/(1-t2)^3 dt
= ò (1+t^4+2t2)dt/(1-t2)^3
Deze breuk splitste ik dan op in partieelbreuken:
1/(1-t2) + (-4)/(1-t2)2 + 4/(1+t2)2 Maar dan... Dan 'loop ik rondjes' want zo blíjf ik maar spiltsen bv 1/(1-t2)^3, dan bekom je opnieuw een term met 1/N2 enz enz Dit kan wellicht niet de bedoeling zijn?
Antwoord
Beste Veerle,
Ik vind hetzelfde na vereenvoudiging, op een factor 2 na (misschien ben je die van 2dt vergeten)?
Dus: 5ò(1+t2)2/(1-t2)3 dt
De noemer is dus van graad 6. Als je deze splitst in partiële breuken hoor je dus 6 breuken te krijgen, jij hebt er maar 3.
1-t2 is immers te ontbinden in (1-t)(1+t) dus je hebt als noemer ((1-t)(1+t))3. De 6 noemers van de gesplitse breuken zijn dus deze 2 factoren, telkens tot zowel de 1e, 2e als 3e macht.
Ik vind het volgende (ik heb de factor 2 er al bijgenomen):
-1/(t-1)3 -1/(2(t-1)2) -1/(2(t-1)) +1/(t+1)3 -1/(2(t+1)2) +1/(2(t+1))
Deze zijn dan eenvoudig te integreren?
mvg,
Tom
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
